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Merton (1973) —「An Intertemporal Capital Asset Pricing Model」

一句话：把 CAPM 从单期推广到连续时间、投资机会集随时间变化的情形——均衡收益由「市场贝塔 + 状态变量贝塔」两块补偿构成（证券市场线变成证券市场平面）；机会集可变时，投资者除了持有市场组合还要持有对冲状态变量变化的基金，两基金分离变成三基金（一般地 m 基金）定理；零市场风险资产的收益不必等于无风险利率。

大白话

Sharpe-Lintner CAPM 有个隐藏假设：投资机会集（利率、预期收益、波动率）不随时间变。现实中利率就在动。Merton 1973 把投资者目标从「这一期均值-方差最优」改成「一生消费效用最大」（上一站是他自己的 1969 论文），在连续时间框架下重新推导均衡：

  • 投资者关心的不只是财富的波动，还有未来投资机会会不会变坏（比如利率下行、市场风险溢价消失）。所以除了持有市场组合赚风险溢价，还会额外持有对冲机会集变化的头寸——这就是「对冲需求 (hedging demand)」
  • 推导出的均衡公式 (34)：\alpha_i - r = \beta_i(\alpha_M - r) + \beta_{in}(\alpha_n - r)——收益补偿 = 市场风险那一块 + 状态变量风险那一块。几何上证券市场线升维成证券市场平面 (security market plane)
  • 直接推论：一个与市场零相关的资产，只要它对状态变量有暴露，预期收益就不该等于无风险利率——「零贝塔资产收益高于无风险利率」后来被 Black-Jensen-Scholes 的数据证实，与 Merton 的预测一致

为什么这偏论文对因子研究重要：FF 1993/1996 的「激进解释」——SMB、HML 是风险因子——就是 ICAPM 式的：多个状态变量、每个状态变量有自己的对冲组合。因子模型的「多因子」结构，理论母版就是这篇文章。

模型结构

假设：连续交易、消费-投资终身效用最大化、资产价格与状态变量 X 由 Itô 过程驱动（Brown 运动）、机会集由状态变量描述（最简单情形：一个状态变量 = 利率 r 本身）。

两步走：

  1. Section 7「三基金定理」：机会集只由一个状态变量（利率）驱动时，任何投资者的最优组合由三个基金线性表出——无风险资产 + 市场组合 + 对冲利率变化的基金。一般地，m 个状态变量 → m 基金定理（两基金分离的推广）
  2. Section 8「均衡收益关系」：加总需求、市场出清，得式 (31)–(34)。总对冲需求 H_g 的符号决定状态变量风险溢价的符号——「从总量角度看不利的」机会集变化（比如利率下降）会带来正溢价

式 (34) 的分解：

\alpha_i - r = \beta_{iM}(\alpha_M - r) + \left[\beta_{in} - \beta_{iM}\beta_{nM}\right](\alpha_n - r)

第一项是经典 SML；第二项是对冲需求项——投资者为「承担机会集变坏的风险」要求补偿。

实证初探（Section 9）：借用 Black-Jensen-Scholes (1972) 的发现——零市场贝塔组合平均收益显著高于无风险利率，且高 β 股与低 β 股对第二个因子（「beta factor」）的协方差随 β 变化——Merton 论证这正是模型预测的第二因子。他的结论是 BJS 的发现与 ICAPM 的事先设定一致，但还不能说完全验证（需要进一步设定利率变化如何映射到收益）。

与 CAPM 的对照

单期 CAPM ICAPM
投资者目标 单期均值-方差 终身消费效用
机会集 恒定 随状态变量随机变化
分离定理 两基金 三基金（一般 m 基金）
均衡定价 SML：只有市场 β 计价 平面：市场 β + 状态变量 β 计价
零 β 资产收益 = 无风险利率 不必等于无风险利率

在文献谱系上的位置

  • 理论侧：与 Sharpe 1964/Lintner 的静态 CAPM、Black 1972 的零 β 模型并列；Campbell 的「跨期对冲因子」传统（新闻分解、股利收益率模型）直接从 ICAPM 出发
  • 实证侧：FF 1993 的三因子模型被 FF 自己定位为「Merton (1973) ICAPM 的三因子版本或 Ross (1976) APT」——SMB 与 HML 被解释为两个状态变量的代理
  • 本文 PDF 的首个文本页是 JSTOR 封面（Econometrica 41(5): 867-887, 1973-09）

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