Random Walk Price Pathwise (参数化随机游走)

大白话：拿资产自己的历史涨跌当「步长」，在价格上走出 h 步随机游走，算出「未来 h 天后价格大概落在哪几个价位上、各占多少概率」。用到的参数全是从收盘价序列直接读出来的中位数和上涨频率，不需要拟合任何模型。

在资产价格上走 h 步的简单随机游走 (simple random walk)，参数取自该资产自身的历史增量。它扮演离散落点分布 (discrete-landing distribution) 的角色，落在 Filtration-Indexed Probability Space 的较小 σ-代数 \mathcal{F}_A 上。在 Achury Arredondo Sanchez Ascanio 2024 Filtration ARIMA Random Walk 中，它给出每个分箱的概率质量，乘上 ARIMA Forecast Model 的密度后构成趋势假设。

构造（Achury 等，观察 2）

从最后一个收盘价 X_0 出发。对应 h 个交易日的预测区间：

步长。 用一阶差分的正、负两部分的中位数，而不是均值： \delta^+ = \tilde x\bigl(\Delta Y_t : \Delta Y_t > 0\bigr), \qquad \delta^- = \tilde x\bigl(\Delta Y_t : \Delta Y_t < 0\bigr), \qquad \delta = \delta^+ + |\delta^-|. 用中位数而不是均值，是为了让一两个异常跳变不至于把整条路径拖离历史中枢。
步长概率。 p = \Delta^+ Y_t / (\Delta^+ Y_t + \Delta^- Y_t)，q = 1 - p，其中「无变化」的日子不计入。
游走。 每一步价格以概率 p 上涨 \delta^+，以概率 q = 1 - p 下跌 \delta^-。这个游走既是 Markov 的（原文定义 7），也是简单的（每步只有两种结果）。

2^h 条路径塌缩成 h+1 个落点 (endpoints)，因为落点价格只取决于上涨步与下跌步各有多少步，与先后顺序无关：

\eta_i = X_0 + (h - i)\,\delta^+ + i\,\delta^-, \qquad i = 0, 1, \dots, h.

落点 i 上的概率质量服从二项分布 (binomial distribution)：

P_i = \binom{h}{i} p^i (1 - p)^{h - i}.

各落点等间距排列，相邻间距为 \delta。σ-代数 \mathcal{F}_A 由围绕每个落点、半径为 \delta/2 的 h+1 个开区间 U(\eta_i, \delta/2) 生成。

X_0 = 3.1425，h = 5，p = q = 0.5，\delta^+ = 0.0375，\delta^- = -0.033。
2^5 = 32 条路径 → h+1 = 6 个落点：\{3.3300, 3.2595, 3.1890, 3.1185, 3.0480, 2.9775\}。
二项概率质量（读自原文图 3.2）：众数落在 \eta_3 = 3.1890，向两端逐渐衰减。
滤波后 (filtered) 的密度见原文图 4.1：它把这里的二项分布乘上 ARIMA 的正态 CDF 再重新归一化—— 那就是 Filtered Probability Trend Hypothesis。

不需要校准。 简单随机游走只需要 X_0、\delta^+、\delta^-、p，全都能直接从收盘价序列观测到。没有极大似然估计 (MLE)，没有超参数搜索。
形状对称、方差低。 二项分布是单峰的（当 h \ge 2 且 p \ne 0,1），便于判断前两名的分箱次序。
Markov + 增量可交换。 未来只是现在的函数；涨跌幅的先后顺序不影响落点分布。

步长恒定。 真实市场的步长是异方差 (heteroscedastic) 的；固定 \delta 的游走抓不到波动率聚集。把二项分布换成按经验直方图拟合的步长分布是自然的升级——ARIMA Forecast Model 加的正是这一层。
与路径无关。 只有落点重要，路径不重要。如果你需要依赖路径的统计量（区间内的最大回撤、高于 X_0 的时间占比），二项概率质量就不够了。
没有「有漂移 vs 无漂移」的不确定性。 p = 0.5 的简单随机游走预期漂移为零，但一个长期上涨的资产有 p \ne 0.5。Achury 等让 p 取经验上涨频率，这让游走带上了漂移；这有助于容纳资产本身的方向性偏向，但偏向一旦反转就会坏事。
不是「厚尾 (fat tails)」模型。 二项分布给出的是类高斯的尾巴。真实的股票收益是尖峰厚尾 (leptokurtic) 的；随机游走的概率质量低估了极端波动，而这正是 ARIMA 那个更宽的正态分布同样低估的地方，所以两者相乘得到的乘积测度 (product measure) 继承了这个缺陷。