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Filtered Probability Trend Hypothesis (过滤概率趋势假设)

大白话：用 ARIMA 预测「五天后股价大概落在哪个价格区间」，再把这条预测分布和「随机游走会落进哪个区间」 的概率乘起来，得到每个价格区间上的过滤概率。看概率最高的两个区间挨不挨着、高概率的区间在左边还是右边， 就能给出「看涨 / 看跌 / 无法判断」三选一的信号。

基于 Filtration-Indexed Probability Space 的乘积测度构造，为短期股价做一个二元方向分类器。模型输出 bullish | bearish | undecidable 三者之一，判定规则是 Achury Arredondo Sanchez Ascanio 2024 Filtration ARIMA Random Walk 的观察 4。本页梳理这个构造、公式、决策规则，以及它离一个可交易系统还差什么。

过滤概率（命题 1）

设 U(\eta_i, \delta/2) = (\eta_i - \delta/2,\ \eta_i + \delta/2) 是随机游走的第 i 个分箱，\hat Y_h, \sigma 分别是 h 步预测上的 ARIMA 预测值与样本内 RMSE。价格在时刻 h 落在第 i 个分箱的过滤概率为

P\!\bigl(Y_h \in U(\eta_i, \delta/2)\bigr) = \frac{\displaystyle \Bigl[\Phi\!\Bigl(\tfrac{\eta_i + \delta/2 - \hat Y_h}{\sigma \sqrt h}\Bigr) - \Phi\!\Bigl(\tfrac{\eta_i - \delta/2 - \hat Y_h}{\sigma \sqrt h}\Bigr)\Bigr]\, \tfrac{h!}{i!\,(h-i)!}\, p^i (1-p)^{h-i} }{ \displaystyle \sum_{j=1}^{h+1} \Bigl[\Phi\!\Bigl(\tfrac{\eta_j + \delta/2 - \hat Y_h}{\sigma \sqrt h}\Bigr) - \Phi\!\Bigl(\tfrac{\eta_j - \delta/2 - \hat Y_h}{\sigma \sqrt h}\Bigr)\Bigr]\, \tfrac{h!}{j!\,(h-j)!}\, p^j (1-p)^{h-j} }.

  • 方括号内是 ARIMA 隐含的、落在该分箱上的正态概率质量。
  • 右侧因子是随机游走落入该分箱的二项概率质量。
  • 分母做归一化，使各分箱构成 (\eta_1 - \delta/2,\ \eta_{h+1} + \delta/2) 的一个真正的划分。

决策规则（观察 4）

设 P_i 表示分箱 i 上的过滤概率，U_r, U_s 是概率最高的两个分箱，满足 P_r \ge P_s。用端点值定义中心顺序：\eta_r > \eta_s 表示 U_r 位于 U_s 的右侧。

  1. 有共同累积点 + 中心有序 + 概率较高的分箱是 \eta 较大的那个 → 看涨 (bullish)。 \eta_r > \eta_s \;\wedge\; P(U_r) > P(U_s) \;\Rightarrow\; \text{bullish}.
  2. 有共同累积点 + 中心有序 + 概率较高的分箱是 \eta 较小的那个 → 看跌 (bearish)。 \eta_r > \eta_s \;\wedge\; P(U_r) < P(U_s) \;\Rightarrow\; \text{bearish}.
  3. 概率最高的两个分箱不连续（没有共同累积点），或者 P_r \approx P_s → 无法判断 (undecidable)。

「有共同累积点」这一项检查，正是把「方向已定」与「无法判断」区分开的地方。如果概率最高的两个分箱之间隔着一段低概率的空档，模型就拒绝给出方向。

流程图

flowchart LR
    ARIMA[ARIMA forecast 𝒩(Ŷ_h, σ²h)]
    RW[Random walk binomial mass on h+1 bins]
    ARIMA --> PROD[Product: normal tail-diff × binomial mass]
    RW --> PROD
    PROD --> RENORM[Renormalise over all h+1 bins]
    RENORM --> P[Filtered probability P_i on each bin]
    P --> TOP2[Top two bins P_r ≥ P_s]
    TOP2 --> CONTIG{Share accumulation point?}
    CONTIG -->|no| UNDEC[Undecidable]
    CONTIG -->|yes| COMP{η_r > η_s ?}
    COMP -->|yes & P_r > P_s| BULL[Bullish]
    COMP -->|yes & P_r < P_s| BEAR[Bearish]
    COMP -->|P_r ≈ P_s| UNDEC

实例演算（SAN）

来自源论文的图 4.1：未来 5 个收盘价的过滤密度在 3.08–3.22 欧元这个分箱上达到峰值，而二项概率质量（绿色轨迹）的众数也落在同一个分箱。概率最高的两个分箱相邻，\eta 较大的那个分箱概率也更高，因此模型给出看涨。

主要结果（完整表格见源论文）

市场 n 判断正确 判断错误 无法判断 命中率（仅计已判断样本）
美国（道指 + 纳斯达克前 9 只） 9 9 0 0 100%
西班牙（IBEX-35 选股） 5 4 1 0 80%
日本 5 2 3 0 40%
哥伦比亚 6 2 3 1 33%（40%）
合计 25 17 7 1 62.5%

与实际值相比，第五日变动的偏差区间为 −11.2% 到 +13.5%——模型大约 62.5% 的时候方向判对，但幅度判不对。

要变成可交易系统还缺什么

  • 没有仓位管理。 一个可交易的系统需要把 bullish 转换成目标权重。Achury 等没有给出这一层；一种自然的映射是把过滤概率在 X_0 以上的质量当作方向置信度，再叠一层 Volatility Targeting 来决定金额。
  • 没有交易成本模型。 模型处理的是二元事件，完全没有问「这一波幅度够不够覆盖来回成本」。
  • 没有市场状态条件化。 5 天的预测视界是固定的；在高波动状态下 5 天太长，在低波动状态下又太短。Ferson-Siegel Optimal Weighting 可以考虑用来把这个二元判断条件化在滞后的条件信息上。
  • 没有统计显著性区间。 24 次判断上 62.5% 的命中率对应很宽的 95% 二项置信区间（大致 41%–81%）。这里没有用 Stationary Bootstrap，结果有可能只是样本巧合。
  • 没有样本外流程。 参数 p, q, \delta^\pm 是在评估所用的同一批 130 个观测上拟合的。至少要做一次前向滚动划分（walk-forward）。
  • 输出是二元标签，不是收益分布。 它不能直接插进凯利 / 风险平价的配置器里。要转成期望收益，需要过滤密度的均值与方差——两者都能由上面的公式算出。

交叉引用