因子模型的跨越检验 (Spanning Tests for Factor Models)

大白话：好几套因子模型都说自己更好，怎么比？跨越检验给了一条明确标准——用模型 B 去回归模型 A 的因子，如果截距联合为零，说明 B 已经把 A 解释掉了；截距显著不为零，就说明 B 还欠了什么。

一句话：检验模型 A 的因子在模型 B 下 \alpha 是否显著不为零——不为零就说明 B 没解释 A。这是比较因子模型的通用工具。

大白话

2015–2018 年间冒出好几套新的因子模型，每一套都声称自己更好。怎么比？

跨越检验 (spanning test) 给了一个明确的标准：

如果模型 B 能解释模型 A 的因子，那么在 B 上回归 A 的因子，截距 \alpha 应该联合为零。

用 Gibbons-Ross-Shanken (GRS) 检验做这个联合检验。拒绝「\alpha 联合为零」= B 没有完全解释 A。原始出处：Gibbons-Ross-Shanken 1989（精确小样本 F 分布）；两遍回归模板见 Fama-MacBeth 1973。

r_t^{A} = \alpha + \boldsymbol\beta^{\top} \mathbf f_t^{B} + \varepsilon_t

关键细节：这里比的是因子溢价能不能被解释，不是「哪个模型的 R^2 高」。

Hou-Mo-Xue-Zhang (2019) 的结果（1967-01 至 2016-12）：

因子	月均溢价	t	q 因子下的 \alpha	q⁵ 下的 \alpha
HML（价值）	0.37%	2.71	0.07%（t=0.62）	0.05%（t=0.48）
CMA（投资）	0.33%	3.51	−0.00%（t=−0.02）	−0.04%（t=−0.96）
RMW（盈利）	0.26%	2.50	0.01%（t=0.08）	−0.01%（t=−0.16）
UMD（动量）	0.65%	3.61	0.12%（t=0.50）	−0.16%（t=−0.78）

四个 \alpha 全部不显著，GRS 检验也无法拒绝「四者 \alpha 联合为零」。

为什么：q 模型的投资因子吸收 CMA，ROE 因子吸收 RMW 与 HML。动量赢家的 ROE 载荷 0.91（t=5.9）——动量赢家的盈利能力本身就更高。

陷阱一：构造方式决定结论。

把 q 因子也改成月度构造，月度 q 的 \alpha 就不显著了。 结论差异来自构造方式，不是模型优劣。

陷阱二：原始构造 vs 标准复现。

Stambaugh-Yuan (2017) 的错价因子按标准方法复现后，与 q 因子的相关系数高达 0.8 和 0.84。也就是说——用标准方法做，他们只是在重新发现 q 因子。

GRS 检验方向也要看清：q 与 q⁵ 都无法解释 Stambaugh-Yuan 原始构造的因子，但 q⁵ 能解释原始版和复现版两者。

陷阱三：模型的经济动机可能站不住。

Fama-French (2015) 用估值理论为五因子模型辩护，但估值理论预测的是「预期投资与预期收益正相关」，而 FF5 的 CMA 是「高投资减低投资」——方向相反。

q⁵ 论文用 Hou-Xue-Zhang (2017) 的 158 个显著异象作为测试集，比较各模型留下的显著 \alpha 个数：

模型	显著 \alpha 数（\lvert t\rvert\ge2）	其中 \lvert t\rvert\ge3	GRS 拒绝数
q 因子模型	46	17	98
q⁵ 模型	19	4	58

高减低 \alpha 的平均幅度从 0.25%/月降到 0.18%/月。