不可交易标的的期权定价 (Option Pricing for Non-Tradable Underlyings)
大白话：Black-Scholes 的复制论证靠的是「标的能连续买卖」。可有些标的根本不可交易（比如保险公司给一个不透明组合做担保）。解法是：用一组能交易的资产拼一个「跟踪组合」去逼近它，只要这个组合的跟踪误差和其他可交易资产不相关，定价结论照样成立。
一句话：Black-Scholes 的复制论证成立的前提是标的能被连续交易；当标的不可交易（或价格不可连续观察）时，用一组可交易资产拼出一个「跟踪组合」去逼近标的收益，用「跟踪误差与所有可交易资产不相关」这条更强的条件，把复制式定价结论原样搬过来。
问题
标准复制论证是这样走的：连续交易、无摩擦、无税收 → 按动态策略持有标的与无风险资产，恰好复制期权payoff → 若期权价格不等于复制成本就有套利 → 价格必须等于复制成本。
这个链条每一环都依赖标的连续可交易。但大量重要场景里标的不是 traded asset：
- 一家保险公司为一家不透明机构的资产负债组合做履约担保，它拿到组合市值但不知道组合里到底持有什么资产；
- 一笔以某项非上市股权、非土地资产、非研发项目价值为标的的合约；
- 实物期权：厂房、研发项目、配电能力、油气开采权——「标的」根本不是证券。
这时若照搬复制论证会卡住：没有标的就没有复制组合。另一条路（放松连续路径假设，见 Merton 1976 Jump Diffusion）解决的是另一个问题。
三步构造：V-Fund
Merton 在诺贝尔演讲里给的解法分三步。
第一步：把「标的」换成「可交易资产的最优追踪组合」。 设可连续交易的 n 个风险资产收益协方差为 \Sigma，\Sigma^{-1} 记作 v，标的资产在协方差结构中的位置由它与这 n 个资产的协方差刻画。构造一个组合 V-Fund：各资产权重按 \Sigma^{-1} 中与标的协方差对应的那一行取值，再做归一化，剩余仓位放无风险资产。
扫描件里权重公式 (5) 的分母形式与归一化常数排版已损坏，无法可靠还原；可确认的只是「权重来自协方差矩阵之逆，且与标的协方差成比例」。
选权重 w 的判据是：最小化标的收益率与组合收益率之差的瞬时方差，即最小化
\mathrm{Var}\left[\frac{dV}{V} - \frac{dS}{S}\right]
这就是一个标准的均值-方差最小化问题，解出来正是「按协方差矩阵之逆加权」的形式——这与库内 Markowitz Curse、Risk Parity 一脉相承：让 \Sigma^{-1} 的几何结构决定权重，而不是各资产等权。
第二步：算出跟踪误差。 记 V-Fund 与标的收益的瞬时相关系数为 \rho，标的波动率为 \sigma_0，则跟踪误差的波动率为
\sigma^2 = (1-\rho^2)\,\sigma_0^2
跟踪误差过程是一个布朗运动，\mathrm{d}b = (\rho\,\mathrm{d}q - \mathrm{d}Z)/\sqrt{1-\rho^2}，其中 \mathrm{d}q 是 V-Fund 自己的随机项。它与所有可交易资产的收益都不相关（这一点由权重的构造方式保证：跟踪误差被投影到协方差空间的正交补上）。
第三步：把复制组合拼起来。 衍生品头寸 M(t) = F_V(V(t),t)，即「期权对标的的 Delta」；M(t) 投在 V-Fund 上，P(t) - M(t) 投在无风险资产上。这套「(*) 组合」是衍生品生产技术：即使该衍生品本身不在市场上交易，这套交易规则也能造出它的现金流，并给出生产成本 F[V(t),t]。
定价结论
关键一步是「跟踪误差不被定价」。 复制式定价成立不要求复制完美，只要求复制残差的风险不获得风险溢价。Merton 的论证是：任何均衡资产定价模型（CAPM 的零 beta、跨期 CAPM 的零多 beta、APT 的零因子风险）都要求「只有不可分散风险」定价为风险资产；跟踪误差满足的条件比这些都更强——它与所有可交易资产收益都不相关。于是均衡条件给出 \mu = \alpha（收益等于标的瞬时期望收益率），均衡价格就是复制成本：
W(t) = F[V(t),t]
Black-Scholes 公式因此在标的不可交易时依然适用。
Merton 补充了两条使这条结论更可信的观察：
- 多数期权定价应用里，跟踪误差是特定项目、特定公司、特定机构或特定个人特有的，因此不太可能被当成宏观风险代理变量；
- 真正有系统性重要性的宏观风险，不由任何一群投资者控制，也不太可能有谁掌握关于它们的系统性强于他人的信息——因此通常用于解释市场失灵的信息不对称与激励理由在这里并不成立。
反面情形同样要看清：如果新推出的衍生品把某类风险「补完」进市场，使大量投资者能对冲它，这笔新增风险就可能被「定价」成系统性风险因子、获得不同于无风险利率的期望回报，此时上面的均衡条件不再成立。
价格不可连续观察时
另一层推广：标的 V 只在 t=0 与到期日 T 可观测，中间只能估计。记累计比例跟踪误差
X(t) = \frac{V(t)}{S(t)}, \qquad X(0) = 1
则 X 的动态为 \mathrm{d}X = \sigma X\,\mathrm{d}b，是对数正态的，\mathbb{E}[X(t)] = 1，\mathrm{Var}(\ln X(t)) = \sigma^2 t；到期时 V(T) 被揭示，S 按累计跟踪误差「跳变」到 V(T)。
对应的定价偏微分方程以最佳估计 S(t) 为自变量：
0 = \tfrac12 \sigma^2 S^2 F_{SS} + rS F_S - rF + F_t, \qquad F[S,T] = \mathbb{E}\big[h(SX)\big]
欧式看涨的解在结构上仍是 Black-Scholes 形式（u 的分子含 \ln(S/L)、r(T-t) 与 \tfrac12\sigma^2，分母是剩余期限方差与跟踪误差方差之和），关键差别只有一处：期权剩余期限内的总方差不随 t \to T 趋于零——因为到期日存在一次跳变。
扫描件中 (27) 的 u、V 两个符号与 \sigma 的归属（标的波动率还是跟踪误差波动率）排版混乱，不能可靠还原；上面只保留了可确认的结构性结论。
与其他概念的关系
- Merton 1976 Jump Diffusion — 放松的是连续路径假设；本页放松的是可交易性与可观测性假设
- Markowitz Curse · Risk Parity — V-Fund 的权重来自 \Sigma^{-1}
- Merton 1997 演讲 — 本概念的出处；实物期权（研发、扩张、放弃）是它最常见的落地场景
- Fischer Black · Myron Scholes — 模型的两位作者
- Black & Scholes 1973 — 本页所扩展的那个基础模型
- 期权定价的无套利方法 — BS 谱系总览（假设逐条放松的对照表）
局限与开放问题
- 「跟踪误差不被定价」是假设，不是证明
- 完整分析还要加上 V-Fund 组合自身的不完美动态交易带来的额外跟踪误差（沿 Bertsimas-Kogan-Lo 1997 的路线），演讲中明确说这超出了本文范围
- 真实中介机构还可用净额结算 (netting) 与在产品之间「倾斜报价 (shading bid/ask)」来压低跟踪误差，文中未量化
- 条件 (23) 在个体特有风险（死亡、残疾、人力资本）上不成立——不完整市场模型会给这类风险显著溢价，Merton 认为保险业更接近精算费率，但这是他的判断而非模型结论