GARCH(1,1)

大白话：GARCH 是估计「今天波动多大」的行业标准——波动会自己咬自己的尾巴：昨天波动大，今天大概率也大（而且有惯性）。它也是「用正态尾部估崩盘概率」这个百倍级错误的根源。

定义。 广义自回归条件异方差 (Bollerslev 1986) 是条件波动率估计的行业标准： r_t = \sigma_t \epsilon_t，\sigma^2_t = \omega + \alpha r^2_{t-1} + \beta \sigma^2_{t-1}。 三个参数（\omega, \alpha, \beta）通常用 MLE 估计，默认 \epsilon_t \sim N(0, 1)（正态尾部假设）。 它是 HHIt 论文 10 个基准之一，也是 低波动十分位百倍级校准失败的根源——论文建议用 logistic 估计替代正态尾部概率映射。

模型

r_t = \mu + \sigma_t \epsilon_t，\sigma^2_t = \omega + \alpha r^2_{t-1} + \beta \sigma^2_{t-1}，\epsilon_t \sim N(0, 1)（默认）。

无条件方差：\sigma^2 = \omega / (1 - \alpha - \beta)；持续性：\alpha + \beta（越接近 1 越持续）。

论文中的角色

• 论文表 III：Normal-GARCH(1,1) 的 Brier 为 0.0429（10 个基准中表面上很有竞争力，但校准出现百倍级崩塌）。
• Hidden gem：预测风险最低的十分位预测值为 0.0001，实际观测是 0.0096——「模型说风险是 0，实际上是 1%」。
• 论文 §7：「无论是否纳入 HHIt，logistic 估计都优于正态尾部概率映射」——直接建议在崩盘概率估计中 放弃 GARCH 的正态尾部假设。

衍生模型

• GARCH-t / GARCH-GED / GARCH-skewed-t —— 用厚尾替代正态，部分缓解校准失败 （但不能完全解决微观结构事件带来的概率下界）。
• EGARCH (Nelson 1991)、GJR-GARCH (Glosten-Jagannathan-Runkle 1993) —— 杠杆效应。
• DCC-GARCH (Engle 2002) —— 多元版本。
• Realized GARCH (Hansen-Huang-Shek 2012) —— 用 RV 替换平方收益，改善信息集。

关键文献

• Bollerslev 1986 GARCH —— 原始论文（stub）。
• GARCH Miscalibration in Low-Vol Decile (Normal-Tail Assumption Failure) —— 百倍级校准失败的详细分析 （JDQS 2026 的 hidden gem）。
• JDQS 2026 Intraday Variance Concentration Crash —— 主论文（主要引用源）。