Stochastic Optimization (SO, 随机优化)

大白话：把问题里的某些数据当成有概率分布的随机变量，然后选一个决策去优化「期望值」。 比如你不知道明天的价格，但知道它的分布，那就在期望意义下做最优选择。 它和 Robust Optimization、 一致风险测度一起， 是 DRO 统一的三种建模范式。

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随机优化（SO）是这样一种决策框架：问题中的部分数据被建模为具有已知（或假定）概率分布的随机变量， 决策则选来优化一个期望——经典地说是对决策 x 与随机向量 \xi 优化期望成本 E_{\mathbb{P}}[f(x,\xi)]。

它是 Distributionally Robust Optimization (DRO) 所统一的三种建模范式之一，另两个是 Robust Optimization (RO) 与 一致风险测度。 SO 对应 DRO 中模糊集 \mathcal{P} 退化为单一分布 \{\mathbb{P}\} 的特例。

典型形式有：

• 两阶段 / 多阶段随机规划 —— 在 \xi 实现之前做出的「此时此地」(here-and-now) 决策 x，加上事后做出的补救决策。
• 机会约束规划 —— 要求 \mathbb{P}[\text{约束成立}] \geq 1-\epsilon。

在量化交易中，SO 支撑的是在给定收益分布假设下的组合构造， 以及在随机订单流下的执行与库存问题。 它的核心弱点——依赖一个已知的分布——正是 DRO 要解决的：DRO 改为在模糊集 \mathcal{P} 上做最坏情形对冲。

参考文献

• Rahimian, H. & Mehrotra, S. (2022). Distributionally Robust Optimization: A Review. Open Journal of Mathematical Optimization 3, DOI 10.5802/ojmo.15.
• Birge, J.R. & Louveaux, F. (2011). Introduction to Stochastic Programming. Springer, 2nd ed.